在微分幾何中,指數映射是微積分中定義的指數函數在任意黎曼流形上的推廣。李群上的指數映射是一類重要的情形。
設
為微分流形,
為其上的仿射聯絡。給定任一點
。根據常微分方程的基本理論,存在切空間
中的開子集
及光滑映射
,使得:
![{\displaystyle \gamma (0,-)=p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f0cc5191c801f736e955a9a0f51b3058d0fa98a)
- 對每個
,映射
是測地線。
- 承上,
。
對夠小的
,映射
是唯一的。定義點
的指數映射為
![{\displaystyle \exp(w)=\gamma (w,1)\quad (w\in U)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/482cbbf4b750ca8cceefa5c94508492b06cbddc4)
由於常微分方程解的存在性只是局部性的,指數映射一般不能定義在整個
上,在黎曼流形的情形,霍普夫-里諾定理給出了充要條件。此外,指數映射通常也不是滿映射,而是
的一個鄰域。黎曼流形上由指數映射給出的坐標系稱作測地法坐標。
从几何上看,指数映射exp(p,v)是把切丛中的一个切向量v,映射到以(p,v)为初始条件的测地线从点p量起弧长等于|v|的点。
李群的情形[编辑]
設
為李群,取定左、右不變之仿射聯絡,可得在整個李代數上定義的指數映射
。這是聯繫李代數與李群的主要工具。李群的指數映射滿足下述性質:
- 若
,則
;對一般情形,左式可由 Campbell-Baker-Hausdorff 公式給出。
在群論的意義下生成
。
- 設
為李群同態,
為它在單位元處的拉回作用,則我们有一交換圖
- 重要的特例是
而
(伴隨作用),此時有
![{\displaystyle g(\exp X)g^{-1}=\exp(\mathrm {Ad} _{g}X)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b76f4daa1860013e01b5d22968f1d87b63d33869)
![{\displaystyle \mathrm {Ad} _{\exp X}=\exp(\mathrm {ad} _{X})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f0542937f4d8118745d1a35d17752a816cde9f)
取
,相應者便是尋常的指數函數
。取
,相應者是恆等映射
。
事實上,對複李群及任何完備域上的解析李群都能定義指數映射。
- Manfredo P. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser (1992). ISBN 0-8176-3490-8. See Chapter 3.
- Jeff Cheeger and David G. Ebin, Comparison Theorems in Riemannian Geometry, Elsevier (1975).